Question

AB为圆O的直径，点E，F在圆上，AB∥EF，矩形ABCD所
在平面与圆O所在平面互相垂直，
已知AB=2，EF=1．
（1）求证：BF⊥平面DAF；
（2）求BF与平面ABCD所成的角；
（3）若AC与BD相交于点M，
求证：ME∥平面DAF．

Answer 1

证明：（1）∵AB为圆O的直径，
∴BF⊥AF，
又∵平面ABCD⊥圆O面，且平面ABCD∩圆O面=AB，DA⊥AB，
∴DA⊥圆面O，BF?圆面O，
∴DA⊥BF，DA∩AF=F，
∴BF⊥平面ADF；
解：（2）过点F作FH⊥AB交AB于H，
DA⊥圆面O，FH?圆面O，
DA⊥FH，
∴FH⊥平面ABCD，
∴∠HBA是BF与平面ABCD所成角的平面角，
∵HF=，BH=，
∴∠HBA=30°，
∴BF与平面ABCD所成角是30°．
证明：（3）过点M作MG∥AB交DA于G，连接FG，
则MG∥AB，MG=AB，
∴EF=MG且EF∥MG，
四边形MGFE为平行四边形，
∴GF∥ME，
∵GF?平面DAF，ME?平面DAF，
∴ME∥平面DAF．
分析：（1）由已知中矩形ABCD所在平面与圆O所在平面互相垂直，结合线面垂直的性质可得DA⊥圆面O，进而得到DA⊥BF，又由AB为圆O的直径，可得BF⊥AF，根据线面垂直的判定定理即可得到答案．
（2）过点F作FH⊥AB交AB于H，结合已知，我们可得∠HBA是BF与平面ABCD所成角的平面角，解三角形HBA即可得到BF与平面ABCD所成的角；
（3）过点M作MG∥AB交DA于G，连接FG，易得四边形MGFE为平行四边形，即ME∥GF，根据线面平行的判定定理，即可得到答案．
点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，其中（1）的关键是得到BF⊥AF，DA⊥BF，（2）的关键是得到∠HBA是BF与平面ABCD所成角的平面角，（3）的关键是得到ME∥GF．