Question

点O在△ABC内部，且满足

OA

+2

OB

+2

OC

=

0

，则△ABC面积与凹四边形ABCO的面积之比为

5：4

．

Answer 1

分析：作

OD

=2

OB

，

OF

=2

OC

，以

OD

，

OF

为邻边作平行四边形ODEF，根据平行四边形法则可知：

OD

+

OF

=

OE

，
即2

OB

+2

OC

=

OE

．由已知

OE

=-

OA

，由此能够求出三角形ABC的面积与凹四边形ABOC面积之比．

解答：解：作

OD

=2

OB

，

OF

=2

OC

，以

OD

，

OF

为邻边作平行四边形ODEF，
根据平行四边形法则可知：

OD

+

OF

=

OE

，即2

OB

+2

OC

=

OE

．由已知2

OB

+2

OC

=-

OA

，所以

OE

=-

OA

，BC是中位线，则

OE

=2

OG

=4

OH

，则线段OA、OH的长度之比为4：1，从而AH、OH的长度之比为5：1，所以△ABC与△OBC都以BC为底，对应高之比为5：1，所以△ABC与△OBC的面积比为5：1，∴三角形ABC的面积与凹四边形ABOC面积之比是5：4．故答案为：5：4．

点评：本题考查向量在几何中的应用，解题时要认真审题，注意向量的加法法则和四边形法则．