Question

11．若函数f（x），g（x）满足$\int_{-2}^2$f（x）g（x）=0，则称f（x），g（x）为区间[-2，2]上的一组正交函数．给出四组函数：
①f（x）=sinx，g（x）=cosx； 
②f（x）=x²+1，g（x）=x²-1；
③f（x）=e^x，g（x）=e^x+1；
  ④f（x）=$\frac{1}{2}$x，g（x）=x²．
其中为区间[-2，2]上的正交函数的组数为（　　）

• A． 3
• B． 2
• C． 1
• D． 0

Answer 1

分析 函数f（x），g（x）满足$\int_{-2}^2$f（x）g（x）=0，则y=f（x）g（x）为奇函数，判断被积函数的奇偶性即可得出结论．

解答 解：函数f（x），g（x）满足$\int_{-2}^2$f（x）g（x）=0，则y=f（x）g（x）为奇函数，
 对于①：f（x）=sinx，g（x）=cosx，∴y=sinx•cosx为奇函数，∴f（x），g（x）为区间[-2，2]上的一组正交函数；
对于②：f（x）=x²+1，g（x）=x²-1，y=（x²+1）（x²-1）偶函数，∴f（x），g（x）不是区间[-2，2]上的一组正交函数；
对于③：f（x）=e^x，g（x）=e^x+1，∴y=e^x（e^x+1），为非奇非偶函数，∴f（x），g（x）不是区间[-2，2]上的一组正交函数
对于④：f（x）=$\frac{1}{2}$x，g（x）=x²，∴y=$\frac{1}{2}$x³，为奇函数，∴f（x），g（x）为区间[-2，2]上的一组正交函数，
∴正交函数有2组，
故选：B．

点评 本题考查新定义，考查微积分基本定理的运用，属于基础题．