Question

2．已知函数f（x）=x²+ax-3，g（x）=$\frac{klnx}{x}$，当a=2时，f（x）与g（x）的图象在x=1处的切线相同．
（1）求k的值；
（2）令F（x）=f（x）-g（x），若F（x）存在零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据条件f（x）与g（x）的图象在x=1处的切线相同，可得f'（1）=g'（1），从而可求出k的值．
（2）将条件F（x）存在零点，即F（x）=0，通过参变量分离转化为方程$a=\frac{4lnx-{x}^{3}+3x}{{x}^{2}}$有实根，然后构造函数，令h（x）=$\frac{4lnx-{x}^{3}+3x}{{x}^{2}}$，通过求导研究函数h（x）的单调性及最值得到h（x）的值域，也就是a的取值范围．

解答 解：（1）当a=2时，f（x）=x²+2x-3，f'（x）=2x+2，则f（1）=0，f'（1）=4，
故f（x）在x=1处的切线方程为y=4x-4，
又因为f（x）和g（x）的图象在x=1处的切线相同，g'（x）=$\frac{k（1-lnx）}{{x}^{2}}$，
所以g'（1）=l=4．
（2）因为F（x）=f（x）-g（x）有零点，
所以F（x）=${x}^{2}+ax-3-\frac{4lnx}{x}$=0，即$a=\frac{4lnx-{x}^{3}+3x}{{x}^{2}}$有实根．
令h（x）=$\frac{4lnx-{x}^{3}+3x}{{x}^{2}}$=$\frac{4lnx}{{x}^{2}}-x+\frac{3}{x}$，则h'（x）=$\frac{4x-8xlnx}{{x}^{4}}-1-\frac{3}{{x}^{2}}$=$\frac{4-8lnx-{x}^{3}-3x}{{x}^{3}}$，
令φ（x）=4-8lnx-x³-3x，则φ'（x）=$-\frac{8}{x}-3{x}^{2}-3$＜0恒成立，故φ（x）在（0，+∞）上单调递减，
又因为φ（1）=0，所以当x＞1时，φ（x）＜0，当0＜x＜1时，φ（x）＞0．
所以当x＞1时，h'（x）＜0，当0＜x＜1时，h'（x）＞0．
故h（x）在（1，+∞）上为减函数，在（0，1）上为增函数，即h（x）_max=h（1）=2．
当x→+∞时，h（x）→-∞，当x→0⁺时，h（x）→-∞．
根据函数的大致图象可知a≤2．

点评 本题第1问属于基础题，两函数图象在同一点的切线相同，则在该点处的导数相等，即可求出参数的值；第2问函数有零点，则对应方程有根，再通过参变量分离，从而将求参数的取值范围转化为求函数的值域．