Question

一变压器的铁芯截面为正十字型（两个全等的长方形，它们完全重合，把其中一个长方形绕中点旋转90°后而得的组合图叫正十字型），为保证所需的磁通量，要求十字应具有cm²的面积，问应如何设计十字型宽x及y，才能使其外接圆的周长最短，这样可使绕在铁芯上的铜线最节省．

Answer 1

【答案】分析：根据面积求出长，然后表示出外接圆的周长，利用导数研究函数的最小值即可．
解答：解：设外接圆的半径为R cm，则 R=．
由2xy-x²=，得 y=．
要使外接圆的周长最小，需要R取最小值，也即R²取最小值．
设 f（x）=R²=++（0＜x＜2R），则 f'（x）=x-．
令f'（x）=0 解得x=2 或x=-2（舍去）．
当0＜x＜2 时f'（x）＜0；当x＞2 时，f'（x）＞0．
因此当x=2时，y=，R²最小，即R最小，周长最小为π cm．
点评：本题通过设间接变量，由题意得到一个函数，再确定它的最小值．间接处理所研究的目标，并用导数研究目标函数的最小值，是解本题的关键所在．