Question

（2006•广州一模）已知sin

α

2

-cos

α

2

=

5

5

，α∈(

π

2

，π)，tanβ=

1

2

．
（Ⅰ）求sinα的值；
（Ⅱ）求tan（α-β）的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把已知等式sin

α

2

-cos

α

2

=

5

5

左右两边平方，利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简，即可求出sinα的值；
（Ⅱ）由sinα及α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，再利用基本关系求出tanα的值，利用两角和与差的正切函数公式化简tan（α-β），将tanα及tanβ的值代入即可求出tan（α-β）的值．

解答：解：（Ⅰ）等式sin

α

2

-cos

α

2

=

5

5

左右两边平方得：
（sin

α

2

-cos

α

2

）²=sin²

α

2

+cos²

α

2

-2sin

α

2

cos

α

2

=1-sinα=(

5

5

)2=

1

5

，
∴sinα=

4

5

；
（Ⅱ）∵sinα=

4

5

，α∈（

π

2

，π），
∴cosα=-

1-sin2α

=-

3

5

，
∴tanα=

sinα

cosα

=-

4

3

，又tanβ=

1

2

，
∴tan(α-β)=

tanα-tanβ

1+tanαtanβ

=

- 4 3 - 1 2

1+(- 4 3 )× 1 2

=-

11

2

．

点评：此题考查了两角和与差的正切函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及二倍角的正弦函数公式，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键．