Question

（2006•广州一模）如下图，在△OAB中，|OA|=|OB|=4，点P分线段AB所成的比为3：1，以OA、OB所在直线为渐近线的双曲线M恰好经过点P，且离心率为2．
（1）求双曲线M的标准方程；
（2）若直线y=kx+m（k≠0，m≠0）与双曲线M交于不同的两点E、F，且E、F两点都在以Q（0，-3）为圆心的同一圆上，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据曲线M的离心率为2，可设双曲线M的方程为

x2

a2

-

y2

3a2

=1，从而可得∠BOx=60°，可求得B（2，2

3

），A（2，-2

3

），根据点P分线段AB所成的比为3：1得P（2，

3

），代入双曲线方程，即可求出双曲线M的方程；
（2）将执行方程与双曲线方程联立

y=kx+m x2 3 - y2 9 =1

，消去y得（k²-3）x²+2kmx+m²+9=0
根据直线y=kx+m（k≠0，m≠0）与双曲线M交于不同的两点，可得

k2-3≠0 △＞0

，从而有

k2≠3 m2+9＞3k 2

 
利用E、F两点都在以Q（0，-3）为圆心的同一圆上，所以NQ⊥EF，从而kNQ=

y0+3

x0-0

=

-3m+3k2-9

-km

=-

1

k

由此得

4m+9＞0 m2+9＞4m+9 m≠0

，从而求出实数m的取值范围．

解答：解：（1）因为曲线M的离心率为2，所以可设双曲线M的方程为

x2

a2

-

y2

3a2

=1
由此可得渐近线的斜率k=±

3

∴∠BOx=60°，
从而B（2，2

3

），A（2，-2

3

）
又因为点P分线段AB所成的比为3：1
故P（2，

3

），代入双曲线方程得a²=3，
故双曲线M的方程为：

x2

3

-

y2

9

=1
（2）如图所示，由

y=kx+m x2 3 - y2 9 =1

⇒（k²-3）x²+2kmx+m²+9=0
设E（x₁，y₁）、F（x₂，y₂），线段EF的中点为N（x₀，y₀），则有

k2-3≠0 △＞0

⇒

k2≠3 m2+9＞3k 2

 ①
由韦达定理得x0=-

km

k2-3

，y0=kx0+m=-

3m

k2-3

因为E、F两点都在以Q（0，-3）为圆心的同一圆上，所以NQ⊥EF，
即kNQ=

y0+3

x0-0

=

-3m+3k2-9

-km

=-

1

k

∴3k²=4m+9    ②
由①②得

4m+9＞0 m2+9＞4m+9 m≠0

∴m＞4或-

9

4

＜m＜0

点评：本题以双曲线的几何性质为载体，考查双曲线的标准方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，综合性强，有难度．