Question

甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速驶到乙地，速度不得超过c千米/小时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v(km/h)的平方成正比，比例系数为b,固定部分为a元 

(1)把全程运输成本y(元)表示为v(km/h)的函数，并指出这个函数的定义域；

(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？

Answer 1

(1) 函数及其定义域为y=S(+bv),v∈(0,c. (2) 为使全程运输成本y最小，当≤c时，行驶速度应为v=,　当>c时行驶速度应为v=c.

解析:

(1)依题意知，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为,全程运输成本为y=a·+bv²·=S(+bv)

∴所求函数及其定义域为y=S(+bv),v∈(0,c.

(2)依题意知，S、a、b、v均为正数

∴S(+bv)≥2S                      ①

当且仅当=bv,即v=时，①式中等号成立   

　  

若≤c则当v=时，有y_min＝2S；

若>c,则当v∈(0,c时，有S(+bv)－S(+bc)

=S［(－)+(bv－bc)］= (c－v)(a－bcv)

∵c－v≥0,且c>bc²,　∴a－bcv≥a－bc²>0

∴S(+bv)≥S(+bc),当且仅当v=c时等号成立，

也即当v=c时，有y_min ＝S(+bc)；

综上可知，为使全程运输成本y最小，当≤c时，行驶速度应为v=,　当>c时行驶速度应为v=c.

解法二: (1)同解法一.

(2)∵函数y=S(+bv),　v∈(0,+∞),

当x∈(0, )时，y单调减小，

当x∈(,+∞)时y单调增加，

当x=时y取得最小值，而全程运输成本函数为y=Sb(v+),v∈(0,c:

　  

∴当≤c时，则当v=时，y最小，若>c时，则当v=c时，y最小.  结论同上.