Question

已知函数，m＞0且f（1）=-1．
（1）求实数m的值；
（2）判断函数y=f（x）在区间（-∞，m-1]上的单调性，并用函数单调性的定义证明；
（3）求实数k的取值范围，使得关于x的方程f（x）=kx分别为：
①有且仅有一个实数解；
②有两个不同的实数解；
③有三个不同的实数解．

Answer 1

解：（1）由f（1）=-1，得，|m|=1，
∵m＞0，∴m=1． （4分）
（2）由（1），m=1，从而，只需研究f（x）在（-∞，0]上的单调性．
当x∈（-∞，0]时，．
设x₁，x₂∈（-∞，0]，且x₁＜x₂，则，（6分）
∵x₁＜x₂≤0，∴x₁-x₂＜0，x₁-2＜0，x₂-2＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴函数f（x）在区间（-∞，0]上是单调递增函数． （10分）
（3）原方程即为…①
x=0恒为方程①的一个解． （11分）
若x＜0时方程①有解，则，解得，
由，得 ； （13分）
若x＞0且x≠2时方程①有解，则，解得，
由且，得或k＞0． （15分）
综上可得，当时，方程f（x）=kx有且仅有一个解；
当时，方程f（x）=kx有两个不同解；
当时，方程f（x）=kx有三个不同解． （18分）
分析：（1）将已知条件f（1）=-1，解得|m|=1，再结合m是正数，可得m=1；
（2）将（1）的结论代入得（-∞，m-1]=（-∞，0]根据函数单调性的定义，可设x₁，x₂∈（-∞，0]，且x₁＜x₂，通过作差化简整理，最后得到f（x₁）-f（x₂）＜0，说明函数在区间（-∞，m-1]上是个增函数；
（3）首先，方程f（x）=kx有一个解x=0，然后分x＞0和x＜0加以讨论：当x＞0且x≠2时，方程转化为，得到，解不等式得或k＞0；当x＜0时，则，解得，解不等式得．最后综合可得方程f（x）=kx解集的情况．
点评：本题以含有绝对值的分式函数的形式为例，考查了函数零点的分布与单调性等知识点，属于难题．