精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
已知函数,m>0且f(1)=-1.
(1)求实数m的值;
(2)判断函数y=f(x)在区间(-∞,m-1]上的单调性,并用函数单调性的定义证明;
(3)求实数k的取值范围,使得关于x的方程f(x)=kx分别为:
①有且仅有一个实数解;
②有两个不同的实数解;
③有三个不同的实数解.
【答案】分析:(1)将已知条件f(1)=-1,解得|m|=1,再结合m是正数,可得m=1;
(2)将(1)的结论代入得(-∞,m-1]=(-∞,0]根据函数单调性的定义,可设x1,x2∈(-∞,0],且x1<x2,通过作差化简整理,最后得到f(x1)-f(x2)<0,说明函数在区间(-∞,m-1]上是个增函数;
(3)首先,方程f(x)=kx有一个解x=0,然后分x>0和x<0加以讨论:当x>0且x≠2时,方程转化为,得到,解不等式得或k>0;当x<0时,则,解得,解不等式得.最后综合可得方程f(x)=kx解集的情况.
解答:解:(1)由f(1)=-1,得,|m|=1,
∵m>0,∴m=1. (4分)
(2)由(1),m=1,从而,只需研究f(x)在(-∞,0]上的单调性.
当x∈(-∞,0]时,
设x1,x2∈(-∞,0],且x1<x2,则,(6分)
∵x1<x2≤0,∴x1-x2<0,x1-2<0,x2-2<0,
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).
∴函数f(x)在区间(-∞,0]上是单调递增函数. (10分)
(3)原方程即为…①
x=0恒为方程①的一个解. (11分)
若x<0时方程①有解,则,解得
,得 ; (13分)
若x>0且x≠2时方程①有解,则,解得
,得或k>0. (15分)
综上可得,当时,方程f(x)=kx有且仅有一个解;
时,方程f(x)=kx有两个不同解;
时,方程f(x)=kx有三个不同解.   (18分)
点评:本题以含有绝对值的分式函数的形式为例,考查了函数零点的分布与单调性等知识点,属于难题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知函数数学公式,m>0且f(1)=-1.
(1)求实数m的值;
(2)判断函数y=f(x)在区间(-∞,m-1]上的单调性,并用函数单调性的定义证明;
(3)求实数k的取值范围,使得关于x的方程f(x)=kx分别为:
①有且仅有一个实数解;
②有两个不同的实数解;
③有三个不同的实数解.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2012-2013学年北京市通州区潞河中学高一(上)期中数学试卷(解析版) 题型:解答题

已知函数(a>0且a≠1)
(1)求f(x)的定义域和值域
(2)判断f(x)的奇偶性,并证明;
(3)当a>1时,若对任意实数m,不等式f(m2+km)+f(k-m-1)>0恒成立,求实数k的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2009-2010学年福建省厦门市理工学院附中高二(下)期中数学试卷(理科)(解析版) 题型:解答题

已知函数(c>0且c≠1,k∈R)恰有一个极大值点和一个极小值点,其中一个是x=-c.
(Ⅰ)求函数f(x)的另一个极值点;
(Ⅱ)求函数f(x)的极大值M和极小值m,并求M-m≥1时k的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2010-2011学年浙江省杭州高级中学高三(下)第七次月考数学试卷(文科)(解析版) 题型:解答题

已知函数(c>0且c≠1,k>0)恰有一个极大值点和一个极小值点,且其中一个极值点是x=-c
(1)求函数f(x)的另一个极值点;
(2)设函数f(x)的极大值为M,极小值为m,若M-m≥1对恒成立,求k的取值范围.

查看答案和解析>>

同步练习册答案