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已知f(x)=2sinx(cosx-sinx),其中x∈R
(1)求函数f(x)的最小正周期,并从下列的变换中选择一组合适变换的序号,经过这组变换的排序,可以把函数y=sin2x的图象变成y=f(x)的图象;(要求变换的先后顺序)
①纵坐标不变,横坐标变为原来的倍,
②纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍,
③横坐标不变,纵坐标变为原来的倍,
④横坐标不变,纵坐标变为原来的倍,
⑤向上平移一个单位,⑥向下平移一个单位,
⑦向左平移个单位,⑧向右平移个单位,
⑨向左平移个单位,⑩向右平移个单位,
(2)在△ABC中角A,B,C对应边分别为a,b,c,f(A)=0,b=4,S△ABC=6,求a的长.
【答案】分析:(1)根据二倍角的三角函数公式和辅助角公式,化简得f(x)=sin(2x+)-1,由三角函数的周期公式可算出最小正周期为T=π,结合三角函数图象变换的方法,可得y=sin2x的图象按照⑨③⑥或③⑨⑥的顺序变换,可得y=f(x)的图象;
(2)由(1)的解析式,结合三角形内角的范围解出A=,代入三角形面积公式算出c=3,最后利用余弦定理即可算出边a的长.
解答:解:(1)f(x)=2sinx(cosx-sinx)=sin2x-2sin2x=sin2x+cos2x-1=sin(2x+)-1…(3分)
∴f(x)的最小正周期为T==π …(5分)
把y=sin2x的图象向左平移,然后横坐标不变、纵坐标变为原来倍,
再向下平移1个单位得到函数y=f(x)的图象.按照⑨③⑥或③⑨⑥的顺序变换即可…(8分)
(2)∵f(A)=0,即sin(2A+)=,且2A+∈(
∴2A+=,解之得A=…(10分)
S△ABC=bcsinA=×4×csin=6,解之得c=3…(10分)
根据余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA=16+18-2×4×3cos=10
∴a=(舍负)…(14分).
点评:本题将三角函数式化简,求函数的周期和图象的变换,并依此解三角形ABC.着重考查了三角恒等变换、三角函数的图象与性质和正余弦定理等知识,属于中档题.
练习册系列答案
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(1)求函数f(x)的最小正周期,并从下列的变换中选择一组合适变换的序号,经过这组变换的排序,可以把函数y=sin2x的图象变成y=f(x)的图象;(要求变换的先后顺序)
①纵坐标不变,横坐标变为原来的
1
2
倍,
②纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍,
③横坐标不变,纵坐标变为原来的
2
倍,
④横坐标不变,纵坐标变为原来的
2
2
倍,
⑤向上平移一个单位,⑥向下平移一个单位,
⑦向左平移
π
4
个单位,⑧向右平移
π
4
个单位,
⑨向左平移
π
8
个单位,⑩向右平移
π
8
个单位,
(2)在△ABC中角A,B,C对应边分别为a,b,c,f(A)=0,b=4,S△ABC=6,求a的长.

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