Question

1．若非零向量$\overrightarrow{n}$⊥直线l，则称$\overrightarrow{n}$为l的法向量．
（I）已知直线l过点P₀（x₀，y_0），法向量$\overrightarrow{n}$=（A，B），C=-（Ax₀+By₀），求1的方程；
（Ⅱ）已知点P₀（x₀，y₀）在圆（x-a）²+（y-b）²=r²上，证明：过点P₀与该圆相切的切线方程为（x₀-a）（x-a）+（y₀-b）（y-b）=r²．

Answer 1

分析 （I）l上任取点Q（x，y），则$\overrightarrow{{P}_{0}Q}$⊥$\overrightarrow{n}$，利用向量的数量积公式，即可求1的方程；
（Ⅱ）过点P₀与该圆相切的切线上取点M（x，y），则$\overrightarrow{{P}_{0}M}$=（x-x₀，y-y₀），设圆心为C，则$\overrightarrow{C{P}_{0}}$=（x₀-a，y₀-b），$\overrightarrow{{P}_{0}M}$⊥$\overrightarrow{C{P}_{0}}$，利用向量的数量积公式，即可证明结论．

解答 （I）解：l上任取点Q（x，y），则$\overrightarrow{{P}_{0}Q}$⊥$\overrightarrow{n}$，
∴A（x-x₀）+B（y-y₀）=0，
∴Ax+By-Ax₀-By₀=0，
∵C=-（Ax₀+By₀），
∴1的方程Ax+By+C=0；
（Ⅱ）证明：过点P₀与该圆相切的切线上取点M（x，y），则$\overrightarrow{{P}_{0}M}$=（x-x₀，y-y₀），
设圆心为C，则$\overrightarrow{C{P}_{0}}$=（x₀-a，y₀-b），
∵$\overrightarrow{{P}_{0}M}$⊥$\overrightarrow{C{P}_{0}}$，
∴（x-x₀，y-y₀）•（x₀-a，y₀-b）=0
∴（x-x₀）（x₀-a）+（y-y₀）（y₀-b）=0
∵P₀（x₀，y₀）在圆（x-a）²+（y-b）²=r²上，
∴（x₀-a）²+（y₀-b）²=r²，
∴（x₀-a）（x-a）+（y₀-b）（y-b）=r²．

点评 本题考查向量知识的运用，考查向量的数量积公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．