Question

6．已知$\overrightarrow a=（{5\sqrt{3}cosx，cosx}）$，$\overrightarrow b=（{sinx，2cosx}）$，记函数f（x）=$\overrightarrow a•\overrightarrow b+{\overrightarrow{|b|}^2}$
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及f（x）的对称中心；
（Ⅱ）求f（x）在[0，π]上的单调递增区间．

Answer 1

分析 （I）利用数量积运算性质、倍角公式、和差公式可得：f（x）=$5sin（2x+\frac{π}{6}）$+$\frac{7}{2}$，可得周期T，令$sin（2x+\frac{π}{6}）$=0，即可解出对称中心．
（II）利用正弦函数的单调性即可得出．

解答 解：（Ⅰ）$\overrightarrow a•\overrightarrow b=5\sqrt{3}cosxsinx+2{cos^2}x，{|{\overrightarrow b}|^2}={sin^2}x+4{cos^2}x$，
f（x）=$5\sqrt{3}cosxsinx+{sin^2}x+6{cos^2}x=\frac{{5\sqrt{3}}}{2}sin2x+\frac{1-cos2x}{2}+3（{1+cos2x}）$
=$5（\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x+\frac{1}{2}cos2x）$+$\frac{7}{2}$
=$5sin（2x+\frac{π}{6}）$+$\frac{7}{2}$，
∴$T=\frac{2π}{2}$=π．
令$sin（2x+\frac{π}{6}）$=0，解得$2x+\frac{π}{6}$=kπ，解得x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$（k∈Z）．
∴f（x）的对称中心为$（\frac{kπ}{2}-\frac{π}{12}，\frac{7}{2}）$，（k∈Z）．
（Ⅱ）解不等式$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$得：$kπ-\frac{π}{3}≤x≤kπ+\frac{π}{6}$．
令k=0，∴$-\frac{π}{3}≤x≤\frac{π}{6}$，∴$0≤x≤\frac{π}{6}$，
$k=1，\frac{2π}{3}≤x≤\frac{7π}{6}$，∴$\frac{2π}{3}≤x≤π$，
∴函数f（x）在[0，π]上的单调递增区间为$[{0，\frac{π}{6}}]，[{\frac{2π}{3}，π}]$．

点评 本题考查了数量积运算性质、倍角公式、和差公式、三角函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．