Question

15．设$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量$\overrightarrow{m}$满足（$\overrightarrow{m}$-$\overrightarrow{{e}_{1}}$）•（$\overrightarrow{m}$$-\overrightarrow{{e}_{2}}$）=0，则|$\overrightarrow{m}$|的最大值为．

• A． 1
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 根据条件，$\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}=0$，$|\overrightarrow{{e}_{1}}|=|\overrightarrow{{e}_{2}}|=1$，进行数量积的运算，便可得到${\overrightarrow{m}}^{2}-（\overrightarrow{{e}_{1}}+\overrightarrow{{e}_{2}}）•\overrightarrow{m}=0$，从而得到$|\overrightarrow{m}|=\sqrt{2}cosθ$，其中θ表示$\overrightarrow{{e}_{1}}+\overrightarrow{{e}_{2}}$和$\overrightarrow{m}$的夹角，这样便可得出$|\overrightarrow{m}|$的最大值．

解答 解：$\overrightarrow{{e}_{1}}，\overrightarrow{{e}_{2}}$是平面内两个互相垂直的单位向量；
∴$（\overrightarrow{m}-\overrightarrow{{e}_{1}}）•（\overrightarrow{m}-\overrightarrow{{e}_{2}}）={\overrightarrow{m}}^{2}-（\overrightarrow{{e}_{1}}+\overrightarrow{{e}_{2}}）•\overrightarrow{m}=0$；
∴$|\overrightarrow{m}{|}^{2}-|\overrightarrow{{e}_{1}}+\overrightarrow{{e}_{2}}||\overrightarrow{m}|cosθ=0$，θ为向量$\overrightarrow{m}$和向量$\overrightarrow{{e}_{1}}+\overrightarrow{{e}_{2}}$所夹角；
∴$|\overrightarrow{m}|=|\overrightarrow{{e}_{1}}+\overrightarrow{{e}_{2}}|cosθ=\sqrt{2}cosθ$$≤\sqrt{2}$；
∴$|\overrightarrow{m}|$的最大值为$\sqrt{2}$．
故选：B．

点评 考查单位向量的概念，向量垂直的充要条件，向量数量积的运算及计算公式，余弦函数的值域．