Question

（2013•杭州一模）设在等差数列{a_n}和等比数列{b_n}中，a₁=1，b₁=2，b_n＞0（n∈N^*），且b₁，a₂，b₂成等差数列，a₂，b₂，a₃+2成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=abn，数列{c_n}的前n项和为S_n，若

S2n+4n

Sn+2n

＜bn+1+t恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用等差数列、等比数列的定义及通项公式即可得出；
（Ⅱ）利用等比数列的前n项和公式、函数的单调性即可得出．

解答：解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q（q＞0）．由题意，
得

2(1+d)=2+2q (2q)2=(1+d)(3+2d)

，解得d=q=3．
∴a_n=3n-2，bn=2×3n-1．
（Ⅱ）∵c_n=abn=3b_n-2=3×2×3^n-1-2=2×3ⁿ-2．
∴S_n=c₁+c₂+…+c_n=2×（3¹+3²+…+3ⁿ）-2n
=2×

3(3n-1)

3-1

-2n
=3ⁿ⁺¹-3-2n．
∴

S2n+4n

Sn+2n

=

32n+1-3

3n+1-3

=3ⁿ+1．
∵

S2n+4n

Sn+2n

＜bn+1+t恒成立，∴3ⁿ+1＜2×3ⁿ+t恒成立，即t＞（-3ⁿ+1）_max，n∈N^*．
由于函数y=-3^x+1在（0，+∞）上单调递减，
∴-3ⁿ+1≤-3¹+1=-2，
故t＞-2．

点评：熟练掌握等差数列、等比数列的定义、通项公式、前n项和公式及函数的单调性是解题的关键．