Question

已知函数f（x）=-x²+ax+1-lnx．
（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若f（x）在区间（0，

1

2

）上是减函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求单调区间，先求导，令导函数大于等于0即可．
（2）已知f（x）在区间（0，

1

2

）上是减函数，即f′（x）≤0在区间（0，

1

2

）上恒成立，然后用分离参数求最值即可．

解答：解：（Ⅰ）当a=3时，f（x）=-x²+3x+1-lnx
∴f′(x)=-2x+3-

1

x

=

-(2x2-3x+1)

x

解f'（x）＞0，即：2x²-3x+1＜0
函数f（x）的单调递增区间是(

1

2

， 1)．
（Ⅱ）f′（x）=-2x+a-

1

x

，∵f（x）在(0，

1

2

)上为减函数，
∴x∈(0，

1

2

)时-2x+a-

1

x

＜0恒成立．
即a＜2x+

1

x

恒成立．设g(x)=2x+

1

x

，则g′(x)=2-

1

x2

∵x∈(0，

1

2

)时，

1

x2

＞4，
∴g′（x）＜0，∴g（x）在(0，

1

2

)上递减，
∴g（x）＞g（

1

2

）=3，∴a≤3．

点评：本题考查函数单调性的判断和已知函数单调性求参数的范围，此类问题一般用导数解决，综合性较强．