Question

任給实数a，b定义a⊕b=

a×b，a×b≥0 a b ，     a×b＜0

  设函数f（x）=lnx⊕x，则f（2）+f（

1

2

）=

0

；若{a_n}是公比大于0的等比数列，且a₅=1，f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）…+f（a₇）+f（a₈）=a₁，则a₁=

e

．

Answer 1

分析：由新定义可得f（x）=lnx⊕x=

xlnx    x≥1 lnx x       0＜ x＜1

，代入数值求解可得；可设该数列的前8项分别为

1

q4

，

1

q3

，

1

q2

，

1

q

，1，q，q²，q³，当q＞1时，f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）…+f（a₇）+f（a₈）=-q⁴lnq⁴＜0，不合题意，当0＜q＜1时，f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）…+f（a₇）+f（a₈）=q⁴lnq⁴=

1

q4

，解之即可．

解答：解：∵a⊕b=

a×b，a×b≥0 a b ，     a×b＜0

，∴f（x）=lnx⊕x=

xlnx    x≥1 lnx x       0＜ x＜1

，
∴f（2）+f（

1

2

）=2ln2+

ln 1 2

1 2

=2ln2+2ln

1

2

=2ln2-2ln2=0；
∵{a_n}是公比大于0的等比数列，且a₅=1，
故可设该数列的前8项分别为

1

q4

，

1

q3

，

1

q2

，

1

q

，1，q，q²，q³，
故当q＞1时，数列的前4项

1

q4

，

1

q3

，

1

q2

，

1

q

均为（0，1）之间的数，
数列的6、7、8项q，q²，q³均大于1，
f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）…+f（a₇）+f（a₈）
=q4ln

1

q4

+q3ln

1

q3

+q2ln

1

q2

+qln

1

q

+0+qlnq+q²lnq²+q³lnq³=-q⁴lnq⁴＜0，
这与f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）…+f（a₇）+f（a₈）=a₁=

1

q4

＞0矛盾；
同理可得当0＜q＜1时，数列的前4项

1

q4

，

1

q3

，

1

q2

，

1

q

均为大于1，
数列的6、7、8项q，q²，q³均为（0，1）之间的数，
f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）…+f（a₇）+f（a₈）=q⁴lnq⁴=a₁=

1

q4

，
解得

1

q4

=e，故a₁=e
故答案为：0； e

点评：本题考查新定义，涉及函数的求值以及数列的求和，属中档题．