Question

任給实数a，b定义a⊕b=　设函数f（x）=lnx⊕x，则f（2）+f（）=________；若{a_n}是公比大于0的等比数列，且a₅=1，f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）…+f（a₇）+f（a₈）=a₁，则a₁=________．

Answer 1

解：∵a⊕b=，∴f（x）=lnx⊕x=，
∴f（2）+f（）=2ln2+=2ln2+2ln=2ln2-2ln2=0；
∵{a_n}是公比大于0的等比数列，且a₅=1，
故可设该数列的前8项分别为，，，，1，q，q²，q³，
故当q＞1时，数列的前4项，，，均为（0，1）之间的数，
数列的6、7、8项q，q²，q³均大于1，
f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）…+f（a₇）+f（a₈）
=++++0+qlnq+q²lnq²+q³lnq³=-q⁴lnq⁴＜0，
这与f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）…+f（a₇）+f（a₈）=a₁=＞0矛盾；
同理可得当0＜q＜1时，数列的前4项，，，均为大于1，
数列的6、7、8项q，q²，q³均为（0，1）之间的数，
f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）…+f（a₇）+f（a₈）=q⁴lnq⁴=a₁=，
解得，故a₁=e
故答案为：0； e
分析：由新定义可得f（x）=lnx⊕x=，代入数值求解可得；可设该数列的前8项分别为，，，，1，q，q²，q³，当q＞1时，f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）…+f（a₇）+f（a₈）=-q⁴lnq⁴＜0，不合题意，当0＜q＜1时，f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）…+f（a₇）+f（a₈）=q⁴lnq⁴=，解之即可．
点评：本题考查新定义，涉及函数的求值以及数列的求和，属中档题．