Question

设数列{a_n}是公比大小于1的等比数列，S_n为数列{a_n}的前n项和．已知S₃=7，且a₁+3，3a₂，a₃+4构成等差数列．
（I）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（II）设c_n=log₂a_n+1，数列{c_nc_n+2}的前n项和为T_n，是否存在正整数m，使得T_n＜

1

cmcm+1

对于n∈N^*恒成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（I）设数列{a_n}的公比为q（q＞1），利用S₃=7，且a₁+3，3a₂，a₃+4构成等差数列，建立方程组，求得首项与公比，即可得到数列{a_n}的通项公式a；
（II）先求通项，再利用裂项法求和，进而解不等式，即可求得正整数m的最小值．

解答：解：（I）设数列{a_n}的公比为q（q＞1），则∵S₃=7，且a₁+3，3a₂，a₃+4构成等差数列，
∴

a1+a2+a3=7 a1+3+a3+4=6a2

∴

a1(1+q+q2)=7 a1(1-6q+q2)=-7

解得

a1=1 q=2

∴等比数列{a_n}的通项公式a_n=2^n-1；
（II）

1

cn

=log₂a_n+1=n，∴cn=

1

n

，∴cncn+2=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)
∴T_n=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

2

-

1

4

)+…+(

1

n

-

1

n+2

)]=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)＜

3

4

∴T_n＜

1

cmcm+1

对于n∈N^*恒成立，只需m（m+1）≥

3

4

∴m≤-

3

2

或m≥

1

2

∴正整数m的最小值为1．

点评：本题考查了等比数列的通项公式和数列的求和，考查恒成立问题，正确求通项与数列的和是关键．