Question

（2014•泸州一模）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，设S为△ABC的面积，满足4S=

3

(a2+b2-c2)．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若1+

tanA

tanB

=

2c

b

，且

AB

•

BC

=-8，求c的值．

Answer 1

分析：（I）根据余弦定理与三角形的面积公式，化简题干中的等式解出sinC=

3

cosC，然后利用同角三角函数的关系得到tanC=

3

，从而可得角C的大小；
（II）根据同角三角函数的关系与正弦定理，化简1+

tanA

tanB

=

2c

b

得到cosA=

1

2

，从而得出A=

π

3

，由三角形内角和定理算出B=

π

3

．再由

AB

•

BC

=-8，利用向量数量积公式建立关于边c的等式，解之即可得到边c的值．

解答：解：（Ⅰ）∵根据余弦定理得a²+b²-c²=2abcosC，△ABC的面积S=

1

2

absinC，
∴由4S=

3

(a2+b2-c2)得4×

1

2

absinC=2

3

abcosC，
化简得sinC=

3

cosC，可得tanC=

sinC

cosC

=

3

，
∵0＜C＜π，∴C=

π

3

；
（Ⅱ）∵1+

tanA

tanB

=

2c

b

，∴1+

sinAcosB

sinBcosA

=

cosAsinB+sinAcosB

cosAsinB

=

2c

b

，
可得

sin(A+B)

cosAsinB

=

2c

b

，即

sinC

cosAsinB

=

2c

b

．
∴由正弦定理得

sinC

cosAsinB

=

2sinC

sinB

，解得cosA=

1

2

，结合0＜A＜π，得A=

π

3

．
∵△ABC中，C=

π

3

，∴B=π-（A+B）=

π

3

，
因此，

AB

•

BC

=-

BA

•

BC

=-|

BA

|•|

BC

|cosB=-

1

2

c²
∵

AB

•

BC

=-8，
∴-

1

2

c²=-8，解之得c=4（舍负）．

点评：本题给出三角形满足的边角关系式，求角C的大小，在已知向量数量积的情况下求边c的值．着重考查了正余弦定理、同角三角函数的基本关系、向量的数量积公式与三角恒等变换等知识，属于中档题．