Question

解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

已知m∈R，设P：x₁和x₂是方程x²－ax－2＝0的两个根，不等式|m－5|≤|x₁－x₂||对任意实数a∈[1，2]恒成立：Q：函数－∞，∞)上有极值．求使“P且Q”为真命题的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

解：由题设

当时，的最小值为3．

要使|恒成立

只须≤3

即2≤m≤8……………………………………………………(3分)

由已知，得

此一元二次方程的判断式………(5分)

若，则有两个相等的实根，且的符号如下：

因此，不是函数的极值……………………………………(7分)

若，则＝0有两个不等的实根和，且的符号如下：

因此，函数在处取得极大值，在处取得极小值．……9分

综上所述，当且仅当△＞0时，函数在(－∞，＋∞)上有极值．

由△＝4m²－12m－16＞0，得m＜－1或m＞4

即当m＜－1或m＞4时，Q正确……………………11分

综上，当时，命题“P且Q”为真命题．………………12分