Question

（本题满分12分）对于函数,若存在使得成立,则称为的不动点已知函数

（1）若,求函数的不动点；

（2）若对任意实数,函数恒有两个相异的不动点,求的取值范围；

（3）在（2）的条件下,若图象上A、B两点的横坐标是函数的不动点,且A、B两点关于直线对称,求的最小值

Answer 1

（1）

（2）

（3）

【解析】

试题分析：（1）解决本小题关键是理解不动点的含义,由题意可知的不动点就是方程的根,因此第 （1）问可转化为求的根,第（2）问可转化为方程即恒有两个不等实根,注意两次使用判别式才能求出的取值范围.第（3）问与解析几何交汇,涉及到点关于直线对称问题,由A、B两点关于直线对称,可得直线且中点在直线上,由这两个条件可得,再利用函数求最值的方法求的最小值.

试题解析：

（1）若,,,则的不动点为 （2分）

（2）函数恒有两个相异的不动点,所以方程即恒有两个不等实根,

需要判别式大于0恒成立,即对任意实数恒成立,

,所以（6分）

（3）因为A、B两点关于直线对称,所以直线且中点在直线上

设,由（2）知,

所以的中点

易知

由（2）,所以

当且仅当（12分）

考点：1一元二次方程；2一元二次不等式恒成立；3点关于直线对称；4函数最值的求法.

考点分析： 考点1：函数的综合应用 试题属性

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