Question

直线y=x+3与曲线-+=1交点的个数是

1. A.
   0
2. B.
   1
3. C.
   2
4. D.
   3

Answer 1

D
分析：当x≥0时，曲线方程是．这是焦点在y轴上的双曲线的右边的一半；当x≤0时，曲线方程是．这是焦点在y轴上的椭圆在y轴的左边的一半；直线y=x+3是经过点（0，3）（双曲线和椭圆的共同顶点）斜率是的直线，由此能得到直线和曲线有不同的交点的个数．
解答：当x≥0时，曲线方程是．
这是焦点在y轴上的双曲线的右边的一半；
当x≤0时，曲线方程是．
这是焦点在y轴上的椭圆在y轴的左边的一半；
直线y=x+3是经过点（0，3）（双曲线和椭圆的共同顶点）斜率是的直线，
由此直线和曲线有三个不同的交点（其中一个是顶点对应x=0）．
故选D．
点评：本题主要考查圆锥曲线标准方程，简单几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系，圆锥曲线的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．