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    （矩阵与变换）求矩阵M=
    12
    21
    的特征值及其对应的特征向量．
    分析：先求出矩阵M的特征多项式，进而可求矩阵M的特征值．利用方程组可求相应的特征向量．
    解答：解：矩阵M的特征多项式为f(λ)=
    .
    λ-1-2
    -2λ-1
    .
    =（λ-1）（λ-1）-4=λ2-2λ-3．
    令f（λ）=0，得矩阵M的特征值为-1和3．
    当λ=-1时，联立
    -2x-2y=0
    -2x-2y=0
    ，解得x+y=0
    所以矩阵M的属于特征值-1的一个特征向量为
    1
    -1
    ．
    当λ=3时，联立
    2x-2y=0
    -2x+2y=0
    ，解得x=y
    所以矩阵M的属于特征值3的一个特征向量为
    1
    1
    ．
    点评：本题考查矩阵的性质和应用、特征值与特征向量的计算，解题时要注意特征值与特征向量的计算公式的运用．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    精英家教网A（选修4-1：几何证明选讲）
    如图，AB是⊙O的直径，C，F是⊙O上的两点，OC⊥AB，过点F作⊙O的切线FD交AB的延长线于点D，连接CF交AB于点E．
    求证：DE2=DB•DA．
    B（选修4-2：矩阵与变换）
    求矩阵
    21
    12
    的特征值及对应的特征向量．
    C（选修4-4：坐标系与参数方程）
    已知曲线C的极坐标方程是ρ=2sinθ，直线l的参数方程是
    x=-
    3
    5
    t+2
    y=
    4
    5
    t
    （t为参数）．
    （Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
    （Ⅱ）设直线l与x轴的交点是M，N是曲线C上一动点，求MN的最大值．
    D（选修4-5：不等式选讲）
    已知m＞0，a，b∈R，求证：(
    a+mb
    1+m
    )2≤
    a2+mb2
    1+m
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （“选修4-2矩阵与变换”）
    已知y=f（x）的图象（如图1）经A=
    .
    ab
    cd
    .
    作用后变换为曲线C（如图2）．
    （Ⅰ）求矩阵A；
    （Ⅱ）求矩阵A的特征值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （选修4-2：矩阵与变换）
    已知矩阵A=
    .
    33
    cd
    .
    ，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为
    α1
    =
    .
    1
    1
    .
    ，属于特征值1的一个特征向量为
    α2
    =
    .
    3
    -2
    .
    ．求矩阵A，并写出A的逆矩阵．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    [选做题]在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内．
    A．（选修4-1：几何证明选讲）
    如图，圆O的直径AB=8，C为圆周上一点，BC=4，过C作圆的切线l，过A作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，求线段AE的长．
    B．（选修4-2：矩阵与变换）
    已知二阶矩阵A有特征值λ1=3及其对应的一个特征向量α1=
    1
    1
    ，特征值λ2=-1及其对应的一个特征向量α2=
    1
    -1
    ，求矩阵A的逆矩阵A-1．
    C．（选修4-4：坐标系与参数方程）
    以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系（两种坐标系中取相同的单位长度），已知点A的直角坐标为（-2，6），点B的极坐标为(4，
    π
    2
    )    ，直线l过点A且倾斜角为
    π
    4
    ，圆C以点B为圆心，4为半径，试求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程．
    D．（选修4-5：不等式选讲）
    设a，b，c，d都是正数，且x=
    		a2+b2
    ，y=
    		c2+d2
    ．求证：xy≥
    		(ac+bd)(ad+bc)
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （选修4-2：矩阵与变换）
    已知矩阵A=
    33
    cd
    ，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1=
    1
    1
    ，属于特征值1的一个特征向量为α2=
    3
    -2
    ．
    ①求矩阵A；②求直线y=x+2在矩阵A的作用下得到的曲线方程．

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