Question

某种电子玩具按下按钮后,会出现红灯或绿灯.已知第一次按下按钮后,出现红灯和绿灯的概率都是,从第二次按下按钮起,若前次出现红灯,则下一次出现红灯的概率为,出现绿灯的概率为;若前次出现绿灯,则下一次出现红灯的概率为,出现绿灯的概率为.记第n(n∈N,n≥1)次按下按钮出现红灯的概率为P_n.

(1)求P₂的值;

(2)当n∈N且n≥2时,求用P_n-1表示P_n的表达式.

(3)求P_n关于n的表达式.

Answer 1

解：(1)P₂=×+×=.

     (2)P_n=P_n-1+(1-P_n-1)=-P_n-1+(n∈N且n≥2).

    (3)由(2)得P_n-=-(P_n-1-),

    ∴{P_n-}是首项为P₁-=,公比为-的等比数列.

    ∴P_n-=(-)^n-1,

    即P_n=(-)^n-1+(n∈N^*).