Question

某种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球，已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是，从按钮第二次按下起，若前次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为；若前次出现绿球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，记第n次按下按钮后出现红球的概率为P_n．
（1）求P₂的值；
（2）当n∈N^*，n≥2时，
①求用P_n-1表示P_n的表达式；
②求P_n关于n的表达式．

Answer 1

解：（1）P₂是“第二次按下按钮后出现红球”．
若第一次，第二次均出现红球，则概率为：=，
第一次出现绿球，第二次出现红球的概率为：=，
故所求概率为：P₂=+=．
（2）①设第n-1次按下按钮出现红球的概率为：P_n-1，n∈N，n≥2，则出现绿球的概率为：1-P_n-1．
若第n-1次，第n次均出现红球，其概率为：，
若第n-1次，第n次依次出现绿球，红球，其概率为：（1-P_n-1），
∴P_n=+ （1-P_n-1 ）=-P_n-1，即P_n=-P_n-1，n∈N，n≥2．
②设 P_n+x=-（P_n-1+x），即 P_n=- P_n-1-．
令-=，解得 x=，∴P_n-=- （P_n-1-），
故{ P_n- }是等比数列，首项等于=，公比等于-．
∴= ，∴P_n=+．
分析：（1）先求出第一次，第二次均出现红球，则概率为：，第一次出现绿球，第二次出现红球的概率为：，相加即得所求．
（2）①设第n-1次按下按钮出现红球的概率为：P_n-1，n∈N，n≥2，可得 出现绿球的概率为：1-P_n-1 ，则由题意可得P_n=+ （1-P_n-1 ）化简求得结果．
②设 P_n+x=-（P_n-1+x），即 P_n=- P_n-1-． 令-=，解得 x=，故P_n-=- （P_n-1-），故{ P_n- }是等比数列，首项等于=，公比等于-，由此求得P_n关于n的表达式．
点评：本题主要考查相互独立事件的概率，互斥事件的概率加法公式的应用，等比关系的确定，等比数列的通项公式，属于中档题．