Question

（本小题满分1４分）如图，为等腰直角的直角顶点，、都垂直于所在的平面，

（1）求二面角的大小；

（2）求点到平面的距离；

（3）问线段上是否存在一点，使得平面且若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）     （2）

解析:

（1）作于，平面平面

则向量与所成的角即为二面角的大小.

由计算得故

∴由面积求得，由射影定理可求得.

而则

故，故二面角的大小为

（2）平面，平面，

故A、C、D、E四点共面.  且平面平面

作于,则有平面

，

∴   ∴由故由得即到平面的距离是.

（3）假设线段BE上存在点，使，平面.

平面，平面.又，平面  又（F不与B重合），故平面，则

而由计算得:故这与矛盾,故上不存在,使（或平面，，而过空间一点有且仅有一条直线与已知平面垂直）

向量法：过作平面，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，.

（1）设平面的一个法向量为则，

 故  

同理：平面的一个法向量为，则 

二面角的大小为

（2）由（1）知平面的一个法向量为，而，

故D到平面的距离是

（3）若上存在使平面，显然此时故

（上式也可用向量共线与共面定理得到F点的坐标）∴，故与不垂直，故在上不存在符合题意的点。