Question

如图，O为坐标原点，点F为抛物线C₁：x²=2py（p＞0）的焦点，且抛物线C₁上点P处的切线与圆C₂：x²+y²=1相切于点Q．
（Ⅰ）当直线PQ的方程为x-y-

2

=0时，求抛物线C₁的方程；
（Ⅱ）当正数p变化时，记S₁，S₂分别为△FPQ，△FOQ的面积，求

S1

S2

的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设点P（x₀，

x02

2p

），代入直线PQ的方程得一方程，再根据抛物线在P处切线斜率为1列一方程，解方程组即可求得p值；
（Ⅱ）易表示出点p处切线方程，据线圆相切得一方程，再与圆联立方程组可表示出Q坐标，据弦长公式可表示出|PQ|，利用点到直线的距离公式可表示出点F到切线PQ的距离d，则S₁可表示，又S2=

1

2

|OF||xQ|=

p

2|x0|

，所以

S1

S2

可表示为关于x₀的函数，据函数结构特点利用基本不等式即可求得其最小值．

解答：解：（Ⅰ）设点P（x₀，

x02

2p

），由x²=2py（p＞0）得，y=

x2

2p

，求导y′=

x

p

，
因为直线PQ的斜率为1，所以

x0

p

=1且x₀-

x02

2p

-

2

=0，解得p=2

2

，
所以抛物线C₁ 的方程为x2=4

2

y．
（Ⅱ）因为点P处的切线方程为：y-

x02

2p

=

x0

p

（x-x₀），即2x₀x-2py-x02=0，
根据切线与圆切，得d=r，即

|-x02|

4x02+4p2

=1，化简得x04=4x02+4p2，
由方程组

2x0x-2py-x02=0 x2+y2=1 x04-4x02-4p2=0

，解得Q（

2

x0

，

4-x02

2p

），
所以|PQ|=

1+k2

|x_P-x_Q|=

1+ x02 p2

|x0-

2

x0

|=

p2+x02

p

|

x02-2

x0

|，
点F（0，

p

2

）到切线PQ的距离是d=

|-p2-x02|

4x02+4p2

=

1

2

x02+p2

，
所以S1=

1

2

|PQ|•d=

1

2

×

p2+x02

p

|

x02-2

x0

|×

1

2

x02+p2

=

x02+p2

4p

|

x02-2

x0

|，
S2=

1

2

|OF||xQ|=

p

2|x0|

，
而由x04=4x02+4p2知，4p²=x04-4x02＞0，得|x₀|＞2，
所以

S1

S2

=

x02+p2

4p

|

x02-2

x0

|×

2|x0|

p

=

(x02+p2)(x02-2)

2p2

=

(4x02+x04-4x02)(x02-2)

2(x04-4x02)

=

x02(x02-2)

2(x02-4)

=

x02-4

2

+

4

x02-4

+3≥2

2

+3，当且仅当

x02-4

2

=

4

x02-4

时取“=”号，即x02=4+2

2

，此时，p=

2+2 2

．
所以

S1

S2

的最小值为2

2

+3．

点评：本题主要考查抛物线几何性质、直线与抛物线的位置关系，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力，综合性强，难度大．