Question

如图，O为坐标原点，直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b，且交抛物线y²=2px（p＞0）于M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）两点（异于原点）．
（1）证明：

1

y1

+

1

y2

=

1

b

；
（2）当a=2p时，求证：OM⊥ON．

Answer 1

分析：（1）写出直线的截距式方程，与抛物线方程联立消去x可得y的二次方程，把等式左侧同分后将韦达定理代入即可证明；
（2）设直线OM、ON的斜率分别为k₁、k₂，则k₁=

y1

x1

，k₂=

y2

x2

．代入韦达定理可证明k₁k₂=-1，从而证明结论；

解答：证明：（1）直线的截距式方程为

x

a

+

y

b

=1与y²=2px联立消去x可得by²+2pay-2pab=0．①
点M、N的纵坐标y₁、y₂为①的两个根，故y₁+y₂=-

2pa

b

，y₁y₂=-2pa．
所以

1

y1

+

1

y2

=

y1+y2

y1y2

=

-2pa b

-2pa

=

1

b

．
（2）设直线OM、ON的斜率分别为k₁、k₂，
则k₁=

y1

x1

，k₂=

y2

x2

．
当a=2p时，由（2）知，y₁y₂=-2pa=-4p²，
由y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，相乘得（y₁y₂）²=4p²x₁x₂，
x₁x₂=

(y1y2)2

4p2

=

(4p2)2

4p2

=4p²，
因此k₁k₂=

y1y2

x1x2

=

-4p2

4p2

=-1．
所以OM⊥ON．

点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要根据实际情况，注意培养计算能力，把握公式的灵活运用，仔细审题，谨慎作答，避免不必要的错误．