Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，AA₁=2，E为棱CC₁的中点，AC与BD交于点O．
（1）求证：AD₁∥平面DOC₁；
（2）求证：B₁D₁⊥AE；
（3）求三棱锥A-BDE的体积．

Answer 1

分析：（1）连接CD₁，C₁D，交于点Q，连接OQ，AD₁，利用三角形的中位线，证明OQ∥AD₁，即可证明AD₁∥平面DOC₁；
（2）先证明BD⊥面ACE，再证明BD⊥AE，即可证得B₁D₁⊥AE；
（3）利用等体积转化，即可求得三棱锥A-BDE的体积．

解答：（1）证明：连接CD₁，C₁D，交于点Q，连接OQ，AD₁，

则∵O、Q分别是AC、CD₁的中点，∴OQ∥AD₁，
∵AD₁?平面DOC₁，OQ?平面DOC₁，
∴AD₁∥平面DOC₁；
（2）证明：∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD
∵CE⊥面ABCD，∴CE⊥BD
∵AC∩CE=C，∴BD⊥面ACE
∵AE?面ACE，∴BD⊥AE
∵BD∥B₁D₁，∴B₁D₁⊥AE；
（3）解：∵S△ABD=

1

2

AB•AD=2，
∴VA-BDE=VE-ABD=

1

3

S△ABD•CE=

1

3

S△ABD•CE=

2

3

．

点评：本题考查线面平行，考查线面垂直，考查三棱锥的体积，掌握线面平行、线面垂直的判定，属于中档题．