Question

已知△ABC中，5（b²+c²-a²）=6bc，求

sin2A+2sin2A

1+cosA

的值．

Answer 1

分析：利用余弦定理表示出cosA，把已知的等式变形代入求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，把所求的式子分子第一项利用二倍角的正弦函数公式化简后，将sinA和cosA的值代入即可求出值．

解答：解：∵5（b²+c²-a²）=6bc，即b²+c²-a²=

6

5

bc，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

3

5

，
又A为三角形的内角，
∴sinA=

4

5

，（5分）
则

sin2A+2sin2A

1+cosA

=

2sinAcosA+2sin2A

1+cosA

=

2× 4 5 × 3 5 +2×( 4 5 )2

1+ 3 5

=1．（12分）

点评：此题考查了余弦定理，同角三角函数间的基本关系，以及二倍角的正弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．