Question

已知定义在区间[-π，

2

3

π]上的函数y=f（x）的图象关于直线x=-

π

6

对称，当x∈[-

π

6

，

2

3

π]时，函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，-

π

2

＜φ＜

π

2

）的图象如图．
（Ⅰ）求函数y=f（x）在[-π，

2

3

π]上的表达式；
（Ⅱ）求方程f（x）=

3

2

的解．

Answer 1

分析：（ I）由图象可知A=1，依题意解方程组

π 6 ω+φ= π 2 2π 3 ω+φ=π

可求得ω与φ，从而可求得y=f（x）在[-π，

2

3

π]上的表达式；
（Ⅱ）f（x）=

3

2

，利用正弦函数的性质先在区间x∈[-

π

6

，

2π

3

]上求得x的值，再利用y=f（x）关于x=-

π

6

对称，求得x∈[-π，-

π

6

]上求得x的值．

解答：解：（ I）由图象可知A=1，ω＞0，-

π

2

＜φ＜

π

2

，有

π 6 ω+φ= π 2 2π 3 ω+φ=π

（2分）
解得：

ω=1 φ= π 3

，
所以x∈[-

π

6

，

2π

3

]时，f（x）=sin（x+

π

3

）．（3分）
由y=f（x）关于直线x=-

π

6

对称，可求的得当x∈[-π，-

π

6

]时，f（x）=-sinx．（5分）
综上，f（x）=

-sinx，x∈[-π，- π 6 ] sin(x+ π 3 )，x∈(- π 6 ， 2π 3 ]

（6分）
（ II）因为f（x）=

3

2

，则在区间x∈[-

π

6

，

2π

3

]上有：x+

π

3

=

π

3

或x+

π

3

=

2π

3

，（8分）
所以x₁=0，x₂=

π

3

．（10分）
又y=f（x）关于x=-

π

6

对称，
所以x₃=-

π

3

，x₄=-

2π

3

也是方程的解，（11分）
所以方程f（x）=

3

2

的解为x=-

2π

3

，-

π

3

，0，

π

3

．（12分）

点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查直线与正弦曲线的位置关系，考查对称问题，属于难题．