Question

已知a₁，a₂，a₃，…，a₃₀是首项为1，公比为2的等比数列．对于满足0＜k＜30的整数k，数列b₁，b₂，b₃，…，b₃₀由bn=

an+k，1≤n≤30-k an+k-30，30-k＜n≤30

确定．记C=a₁b₁+a₂b₂+…+a₃₀b₃₀．
（Ⅰ）当k=1时，求C的值；
（Ⅱ）求C最小时k的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把k=1代入得bn=

an+1，1≤n≤29 a1，n=30

然后列举出C的项利用等比数列的求和公式求出C即可；
（Ⅱ）写出C=a₁b₁+a₂b₂+…+a_kb_k+…+a₃₀b₃₀代入得到前30-k和k项，分别利用等比数列的求和公式化简，并利用基本不等式得到：

230-1

3

(230-k+2k)≥

216(230-1)

3

，当且仅当2^30-k=2^k时取等号，求出k即可．

解答：解：（Ⅰ）当k=1时，bn=

an+1，1≤n≤29 a1，n=30

∴C=a₁b₁+a₂b₂+…+a₃₀b₃₀=a₁a₂+a₂a₃+…+a_ra_r+1+…+a₂₉a₃₀+a₃₀a₁
=1×2+2×2²+…+2^r-1×2^r+…+2²⁸×2²⁹+2²⁹×1
=2+2³++2^2r-1++2⁵⁷+2²⁹
=

2(429-1)

4-1

+229=

1

3

×259+229-

2

3

（Ⅱ）C=a₁b₁+a₂b₂+…+a_kb_k+…+a₃₀b₃₀
=1×2^k+2×2^k+1+…+2^k-1×2^2k-1+…+2^29-k×2²⁹+2^30-k×1+2^31-k×2+…+2²⁹×2^k-1
=

2k+2k+2++23k-2++258-k

共30-k项

+

230-k+232-k++228+k

共k项

=

2k(430-k-1)

4-1

+

230-k(4k-1)

4-1

=

1

3

(260-k-2k+230+k-230-k)
=

1

3

[230-k(230-1)+2k(230-1)]
=

230-1

3

(230-k+2k)≥

216(230-1)

3

当且仅当2^30-k=2^k，即k=15时，C最小．

点评：考查学生灵活运用等比数列性质的能力，以及会用数列的递推式进行化简求值，会用基本不等式求函数的最小值．