Question

8．已知函数$f（x）=a-\frac{1}{{{2^x}+1}}$．
（1）试确定a的值，使f（x）为奇函数；
（2）判断函数f（x）的单调性，并用定义法证明．

Answer 1

分析 （1）利用f（0）=0，确定a的值，使f（x）为奇函数；
（2）利用函数单调性的定义进行证明即可．

解答 解：（1）由题意，f（0）=a-$\frac{1}{2}$=0，∴a=$\frac{1}{2}$，
f（-x）=a-$\frac{1}{{2}^{-x}+1}$；
∵f（x）+f（-x）=a-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$+a-$\frac{1}{{2}^{-x}+1}$=2a-$\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x}+1}$=2a-1；
∴经检验a=$\frac{1}{2}$，f（x）为奇函数；
（2）函数f（x）在定义域R内单调递增．
任意设两个实数x₁，x₂，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}}{（1+{2}^{{x}_{1}}）（1+{2}^{{x}_{2}}）}$，
∵x₁＜x₂，
∴${2}^{{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$＜0，（1+${2}^{{x}_{1}}$）（1+${2}^{{x}_{2}}$）＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）在定义域R内单调递增．

点评 本题主要考查奇函数的定义，考查函数单调性的判断，利用函数单调性的定义是解决此类问题的基本方法．