Question

4．若函数f（x）满足：集合A={f（n）|n∈N^*}中至少存在三个不同的数构成等差数列，则称函数f（x）是等差源函数．判断下列函数：
①y=log₂x；
②y=2^x；
③y=$\frac{1}{x}$中，
所有的等差源函数的序号是（　　）

• A． ①
• B． ①②
• C． ②③
• D． ①③

Answer 1

分析 利用等差源函数的定义、等差数列的定义即可判断出结论．

解答 解：①∵log₂1，log₂2，log₂4构成等差数列，∴y=log₂x是等差源函数；
②y=2^x不是等差源函数，因为若是，则2×2^p=2^m+2ⁿ，则2^p+1=2^m+2ⁿ，
∴2^p+1-n=2^m-n+1，左边是偶数，右边是奇数，故y=2^x+1不是等差源函数；
③取$\frac{1}{2}，\frac{1}{3}，\frac{1}{6}$成等差数列，因此y=$\frac{1}{x}$是等差源函数．
综上可得：只有①③正确．
故选：D．

点评 本题考查了等差源函数的定义、等差数列的定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．