Question

双曲线(a＞1,b＞0)的焦距为2c,直线l过点（a,0）和(0,b)，且点(1,0)到直线l的距离与点（-1，0）到直线l的距离之和s≥c.求双曲线的离心率e的取值范围.

Answer 1

解：直线l的方程为+=1，即bx+ay-ab=0.?

由点到直线的距离公式，且a＞1，得到点（1，0）到直线l的距离d₁=.?

同理得到点（-1，0）到直线l的距离：?

d₂=,s=d₁+d₂=.?

由,得,?

即.于是得,?

即4e⁴-25e²+25≤0.?

解不等式，得.?

由于e＞1＞0,?

所以e的取值范围是.

点评：本题通过构造法来求离心率的取值范围，考查了不等式的数学思想.本题主要考查了点到直线的距离公式，双曲线的基本性质，以及同学们的综合运算能力.