Question

如图，直角△BCD所在的平面垂直于正△ABC所在的平面，PA⊥平面ABC，DC=BC=2PA，E为DB的中点。

（1）证明：AE⊥BC；　　
（2）若点F是线段BC上的动点，设面PFE与面PBE所成的平面角大小为，当在内取值时，求直线PF与平面DBC所成的角的范围。

Answer 1

（1）证明：取BC的中点O，连接EO，AO，则EO//DC，
所以EO⊥BC，
因为△ABC为等边三角形，所以BC⊥AO，
所以BC⊥面AEO，
故BC⊥AE。
（2）解：连接PE，
因为面BCD⊥面ABC，DC⊥BC，
所以DC⊥面ABC，
而EODC，
所以EOPA，故四边形APEO为矩形，
易证PE⊥面BCD，
连接EF，则∠PFE为PF与面DBC所成的角， 
又PE⊥面BCD，
所以，
∴∠BEF为面PBE与面PFE所成的角，即，
此时点F即在线段BO上移动，设DC=BC=2PA=2，则，
，
所以直线PF与平面DBC所成的角的范围为。