Question

（2010•温州一模）如图，直角△BCD所在的平面垂直于正△ABC所在的平面，PA⊥平面ABC，DC=BC=2PA，为DB的中点，
（Ⅰ）证明：AE⊥BC；
（Ⅱ）线段BC上是否存在一点F使得PF与面DBC所成的角为60°，若存在，试确定点F的位置，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（I）欲证：BC⊥AE，先取BC的中点O，连接EO，AO，根据线面垂直的性质定理可知，只须证明：BC⊥面AEO即可．
（II）对于存在性问题，可先假设存在，即假设线段BC上存在一点F使得PF与面DBC所成的角为60°，再建立空间坐标系利用空间向量的夹角公式，求出y的长值，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．

解答：证明：（I）取BC的中点O，连接EO，AO，
EO∥DC所以EO⊥BC．（1分）
因为△ABC为等边三角形，所以BC⊥AO（3分）
所以BC⊥面AEO，故BC⊥AE（4分）
（II）以BC的中点O为原点，OA所在的直线为x轴，OB所在的直线为y轴，
OE所在的直线为z轴建立空间坐标系，不妨设BC=2，
则P(

3

，0，1)，设F（0，y，0），
则

PF

=(-

3

，y，-1)，（7分）
而平面BCD的一个法向量

n

=（1，0，0），
则由

PF • n

| PF || n |

=

3

2

，（9分）
解得y=0，
故存在F，且F为BC的中点，使得PF与面DBC所成的角为60°．

点评：本题主要考查了直线与平面之间所成角、直线与平面垂直的判定、直线与平面垂直的性质及空间向量的夹角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．