Question

（2010•温州一模）已知B₁，B₂为椭圆C₁：

x2

a2

+y2=1(a＞1)短轴的两个端点，F为椭圆的一个焦点，△B₁FB₂为正三角形，
（I）求椭圆C₁的方程；
（II）设点P在抛物线C₂：y=

x2

4

-1上，C₂在点P处的切线与椭圆C₁交于A、C两点，若点P是线段AC的中点，求AC的直线方程．

Answer 1

分析：（I）先设F（c，0），根据△B₁FB₂为正三角形求出c值，再根据a²=c²+b²求出a，从而写出椭圆C₁的方程；
（II）设A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），P（x₀，y₀），利用导数几何意义求出直线AC的斜率，利用A，C在椭圆

x2

4

+y2=1上，将点的坐标代入椭圆方程后作差表示出直线AC的斜率从而解得x₀=0或x₀=±

2

最后得出点P的坐标及直线AC的方程．

解答：解：（I）∵B₁（0，-1），B₂（0，1），设F（c，0）
∵△B₁FB₂为正三角形
∴c=

3

 …（2分）
∴a²=c²+b²=4
∴椭圆C₁的方程是

x2

4

+y2=1…（4分）
（II）设A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），P（x₀，y₀）
∵函数y=

x2

4

-1的导数为y′=

x

2

∴直线AC的斜率 K_AC=

x0

2

…（6分）
∵A，C在椭圆

x2

4

+y2=1上，
∴

x12 4 +y12=1，(1) x12 4 +y12=1，(2)

  （1）-（2）得：

(x1-x2)(x1+x2)

4

+ (y1-y2)(y1+y2)=0…（9分）
∴直线AC的斜率k_AC=

y1-y2

x1-x2

=-

x1+x2

4(y1+y2)

=-

x0

4y0

=

x0

2

又∵

x02

4

+y02=1得
x₀（x₀²-2）=0，
解得：x₀=0或x₀=±

2

  …（13分）
当x₀=0时，P点坐标为（0，-1），直线AC与椭圆相切，舍去；
当x₀=±

2

 时，点P的坐标为（±

2

，-

1

2

），显然在椭圆内部，
所以直线AC的方程是：y=±

2

2

x-

3

2

 …（15分）

点评：本小题主要考查椭圆的标准方程、圆锥曲线的综合、直线与圆锥曲线的综合问题等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．