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16、非空集合G关于运算⊕满足:①对于任意a、b∈G,都有a⊕b∈G;②存在e∈G,使对一切a∈G都有a⊕e=e⊕a=a,则称G关于运算⊕为和谐集,现有下列命题:
①G={a+bi|a,b为偶数},⊕为复数的乘法,则G为和谐集;
②G={二次三项式},⊕为多项式的加法,则G不是 和谐集;
③若⊕为实数的加法,G⊆R且G为和谐集,则G要么为0,要么为无限集;
④若⊕为实数的乘法,G⊆R且G为和谐集,则G要么为0,要么为无限集,其中正确的有
②③
分析:根据已知中关于和谐集的定义:非空集合G关于运算⊕满足:①对于任意a、b∈G,都有a⊕b∈G;②存在e∈G,使对一切a∈G都有a⊕e=e⊕a=a,我们利用题目四个结论中所给的运算法则,对所给的集合进行判断,特别是对特殊元素进行判断,即可得到答案.
解答:解:对于G={a+bi|a,b为偶数},⊕为复数的乘法,则根据偶数的和还是偶数,故满足条件①,但不存在e∈G,使对一切a∈G都有a⊕e=e⊕a=a,不满足条件②,
故①“G={a+bi|a,b为偶数},⊕为复数的乘法,则G为和谐集”不正确;
对于G={二次三项式},若a、b∈G时,a,b的两个同类项系数,则其和不再为三项式,故G不是 和谐集,故②正确;
对于⊕为实数的加法,G⊆R且G为和谐集,G要么为{0}时满足要求,若G中存在不为0的实数元素,则必为无限集,故③正确;
若⊕为实数的乘法,G⊆R且G为和谐集,则G可以为{0},也可以为{0,1},故④错误;
故答案为:②③
点评:此题以集合为载体,通过新定义“融洽集”,解决这类型题目时,心情平和是很重要的,对于每个小题,采用把这里的运算⊕换成每个小题给出的运算,逐个验证就可得出正确答案.从这个题可以看出,对于常见的集合中的特殊元素,我们应该引起足够的重视.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

非空集合G关于运算⊕满足:(1)对任意的a,b∈G,都有a⊕b∈G,(2)存在e∈G,都有a⊕e=e⊕a=a,则称G关于运算⊕为“融洽集”.现给出下列集合和运算:
①G={非负整数},⊕为整数的加法.
②G={偶数},⊕为整数的乘法.
③G={平面向量},⊕为平面向量的加法.
④G={二次三项式},⊕为多项式的加法.
⑤G={虚数},⊕为复数的乘法.
其中G关于运算⊕为“融洽集”的是
 
.(写出所有“融洽集”的序号)

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科目:高中数学 来源: 题型:

非空集合G关于运算⊕满足:(1)对任意a,b∈G,都有a⊕b∈G;(2)存在e∈G,使得对一切a∈G,都有a⊕e=e⊕a=a,则称G关于运算⊕为“融洽集”;现给出下列集合和运算:①G={非负整数},⊕为整数的加法;   ②G={函数},⊕为函数的和;③G={不等式},⊕为同向不等式的加法;④G={虚数},⊕为复数的乘法.其中G关于运算⊕为“融洽集”的是

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(2012•梅州二模)非空集合G关于运算⊕满足:(1)对于任意a、b∈G,都有a⊕b∈G;(2)存在e∈G,使对一切a∈G都有a⊕e=e⊕a=a,则称G关于运算⊕为“融洽集”,现在给出集合和运算::
①G={非负整数},⊕为整数的加法;
②G={偶数},⊕为整数的乘法;
③G={平面向量},⊕为平面向量的加法;
④G={虚数},⊕为复数乘法,其中G为关于运算⊕的“融洽集”的个数为(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

非空集合G关于运算满足:①对于任意a、b∈G,都有a?b∈G;②存在e∈G,使对一切a∈G都有a?e=e?a=a,则称G关于运算为融洽集,现有下列集合运算:
(1)G={非负整数},为整数的加法;
(2)G={偶数},为整数的乘法;
(3)G={平面向量},为平面向量的加法;
(4)G={二次三项式},为多项式的加法;
其中关于运算的融洽集有
(1)(3)
(1)(3)

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