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    当n∈N，n≥2时，求证：1+
    1
    		2
    +
    1
    		3
    +…+
    1
    		n
    ＞
    		n
    (n∈N)    ．
    分析：用数学归纳法进行证明，先验证n=2时，不等式成立；再假设n=k（k≥2）时，不等式成立，然后利用放缩法证明n=k+1时，不等式成立．
    解答：证明：①当n=2时，左边=1+
    1
    		2
    =1+
    		2
    2
    ＞1.7＞
    		2
    =右边，
    ∴当n=2时，不等式成立．
    ②假设当n=k（k≥2）时，不等式成立，
    即1+
    1
    		2
    +
    1
    		3
    +…+
    1
    		k
    ＞
    		k
    ，
    则当n=k+1时，
    左式=1+
    1
    		2
    +
    1
    		3
    +…+
    1
    		k
    +
    1
    		k+1
    ＞
    		k
    +
    1
    		k+1

    =
    		k(k+1)
    +1
    		k+1
    ＞
    		k•k
    +1
    		k+1
    =
    k+1
    		k+1
    =
    		k+1
    =右式    ，
    ∴当n=k+1时，不等式成立．
    由①②知，对一切n∈N，且n≥2，不等式都成立．
    故1+
    1
    		2
    +
    1
    		3
    +…+
    1
    		n
    ＞
    		n
    (n∈N)    ．
    点评：本题考查不等式的证明，解题时要认真审题，合理地运用数学归纳法进行证明，证明过程中注意放缩法的灵活运用．
    练习册系列答案
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知正数数列{an}中，a1=1，当n∈N*，n≥2时满足
    an
    an-1
    =
    an-1+2n-1
    an-2n+1
    ，求
    （1）求{an}的通项公式；
    （2）记数列{
    1
    4an
    }    的前n项和为An，证明An＜2
    		n
    ；
    （3）bn=
    an(2n-1)
    n2+cn
    （c为非零常数），若数列{bn}是等差数列，其前n项和为Sn，求数列{（-1）nSn}的前m项和Tm．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    观察下列式子：1+
    1
    22
    ＜
    3
    2
    ，1+
    1
    22
    +
    1
    32
    ＜
    5
    3
    ，1+
    1
    22
    +
    1
    32
    +
    1
    42
    ＜
    7
    4
    ，…    ，则可以猜想的结论为：当n∈N且n≥2时，恒有
     
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知f（x）=ln（x+1）．
    （1）若g(x)=
    1
    4
    x2-x+f(x)    ，求g（x）在[0，2]上的最大值与最小值；
    （2）当x＞0时，求证
    1
    1+x
    ＜f(
    1
    x
    )＜
    1
    x
    ；
    （3）当n∈N+且n≥2时，求证：
    1
    2
    +
    1
    3
    +
    1
    4
    +…+
    1
    n+1
    ＜f(n)＜1+
    1
    2
    +
    1
    3
    +…+
    1
    n
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设函数f（x）=
    x
    x+2
    （x＞0），观察：f1（x）=f（x）=
    x
    x+2
    ，f2（x）=f（f1（x））=
    x
    3x+4
    ，f3（x）=f（f2（x））=
    x
    7x+8
    ，…，根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N*且n≥2时，fn（x）=
    x
    (2n-1)x+2n
    x
    (2n-1)x+2n
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （理）等差数列{an}中，首项a1=1，公差d≠0，已知数列ak1，ak2，ak3，…，akn，…成等比数列，其中k1=1，k2=2，k3=5．
    （1）求数列{an}，{kn}的通项公式；
    （2）当n∈N+，n≥2时，求证：
    a2
    2k2-2
    +
    a3
    2k3-2
    +
    a4
    2k4-2
    +…+
    an
    2kn-2
    ＜
    8
    3
    ．

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