Question

设函数f(x)=log_a(1-),其中0＜a＜1.

(1)证明f(x)是（a,+∞）上的减函数；

(2)解不等式f(x)＞1.

Answer 1

(1)证明：任取x₁、x₂∈(a+∞),且x₁＜x₂,则f(x₁)-f(x₂)=log_a(1-)-log_a(1-)=log_a.

∵-1=,

∵0＜a＜1,a＜x₁＜x₂,

∴＞0,且-1＜0，

即0＜＜1,

∴log_a＞0.

∴f(x₁)＞f(x₂)，∴f(x)是(a,+∞)上的减函数.

(2)解析：解法一：∵0＜a＜1,

∴f(x)＞1log_a(1-)＞log_aa

解不等式①得，x＞a或x＜0.

解不等式②得，0＜x＜.

∵0＜a＜1,∴a＜,

∴原不等式解集为{x|a＜x＜}.

解法二：函数f(x)的定义域为{x|x＞a或x＜0}.

∵0＜a＜1,

∴当x＜0时，1-＞1.

∴f(x)=log_a(1-)＜0,不合题意.

当x＞a时,解方程f(x)=1,得x=.

由(1)知f(x)是(a,+∞)上的减函数,

∴f(x)＞1时,x＜.

∵a＜,

∴原不等式解集为{x|a＜x＜}.