Question

已知向量

a

=(m，n)，

b

=(sinx，1)，

c

=(cosx，sinx)，

a

•

b

∈[-7，1]
（1）求

a

•

c

的最大值；
（2）若m＞0，向量

OP

=

a

+

c

，求点P（x，y）的轨迹方程及|

a

+

c

|的最大值．

Answer 1

分析：（1）因为

a

•

b

∈[-7，1]，则msinx+n∈[-7，1]，当m＞0时，

m+n=1 -m+n=-7

；当m＜0时，

m+n=-7 -m+n=1

，由此能求出最大值．
（2）由于 m＞0，则

m=4 n=-3

，所以

OP

=

a

+

c

=（4+cosx₀，-3+sinx₀）=（x，y），由此能求出点P（x，y）的轨迹方程及|

a

+

c

|的最大值．

解答：解：（1）因为

a

•

b

∈[-7，1]，
则msinx+n∈[-7，1]，
当m＞0时，

m+n=1 -m+n=-7

，
解得

m=4 n=-3

；
当m＜0时，

m+n=-7 -m+n=1

，
解得

m=-4 n=3

．
所以

a

•

c

=4cosx-3sinx=-5sin(x-φ)，
由于x∈R，∴

a

•

c

的最大值为5
（2）由于 m＞0，
则由（1）知

m=4 n=-3

，
∵向量

OP

=

a

+

c

，点P（x，y）
∴

OP

=

a

+

c

=（4+cosx₀，-3+sinx₀）=（x，y）
∴

x=4+cosx0 y=-3+sinx0

，
故点P（x，y）的轨迹方程为：（x-4）²+（y+3）²=1；
|

a

+

c

|=|（4+cosx₀，-3+sinx₀）|
=

16+8cosx0+cos2x0+9-6sinx0+sin2x0

=

26-6sinx0+8cosx0

=

26+10sin(x0+θ)

，
∴|

a

+

c

|的最大值为6．

点评：本题考查求

a

•

c

的最大值；若m＞0，向量

OP

=

a

+

c

，求点P（x，y）的轨迹方程及|

a

+

c

|的最大值．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．