Question

（本小题满分14分） 已知椭圆的中心在原点，一个焦点，且长轴长与短轴长的比是．若椭圆在第一象限的一点的横坐标为，过点作倾斜角互补的两条不同的直线，分别交椭圆于另外两点，.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）求证：直线的斜率为定值；

（Ⅲ）求面积的最大值．

 

Answer 1

【答案】

 

解：（Ⅰ）设椭圆的方程为．

由题意  ………………………………………………2分

解得 ，．

所以椭圆的方程为．……………………………………………4分

（Ⅱ）由题意知，两直线，的斜率必存在，设的斜率为，

则的直线方程为.

由得

.………………6分

设，，则

，

同理可得，

则，.

所以直线的斜率为定值. ……………………………………8分

（Ⅲ）设的直线方程为.

由得.

由，得.……………………………………10分

此时，.

到的距离为，

    

则

.

因为使判别式大于零，

所以当且仅当时取等号，

所以面积的最大值为．………………………………………………………13分

 

【解析】略