Question

（文）已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的准线为l，焦点为F．⊙M的圆心在x轴的正半轴上，且与y轴相切．过原点O作倾斜角为

π

3

的直线，交l于点A，交⊙M于另一点B，且AO=OB=2．
（Ⅰ）求⊙M和抛物线C的标准方程；
（Ⅱ）过圆心M的直线交抛物线C于P、Q两点，问

OP

•

OQ

是否为定值，若是定值，求出该定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据

p

2

=OA•cos60°，可求出p的值，从而求出抛物线方程，求出圆心和半径可求出⊙M的方程；
（Ⅱ）分类讨论，设出直线方程代入抛物线方程，利用韦达定理及向量的数量积公式，即可求得结论．

解答：解：（Ⅰ）因为

p

2

=OA•cos60°=2×

1

2

=1，即p=2，所以抛物线C的方程为y²=4x
设⊙M的半径为r，则r=

OB

2

×

1

cos60°

=2，所以⊙M的方程为（x-2）²+y²=4
（Ⅱ）M（2，0），设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
（1）当PQ斜率不存在时，P（2，2

2

），Q（2，-2

2

），则

OP

•

OQ

=x₁x₂+y₁y₂=-4
（2）当PQ斜率存在时，设PQ的方程为y=k（x-2）（k≠0），消y得k²x²-（4k²+4）x+4k²=0
所以x₁+x₂=

4k2+4

k2

，x₁x₂=4，
因为y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，所以y₁²y₂²=16x₁x₂=64，故y₁y₂=-8
所以

OP

•

OQ

=x₁x₂+y₁y₂=-4
所以

OP

•

OQ

为定值，该值为-4．

点评：本题考查抛物线与圆的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．