Question

判断下列函数的奇偶性，并说明理由．
（1）f(x)=

1-x2

|x+3|-3

；  （2）f（x）=x²-|x-a|+2（a∈R）．

Answer 1

分析：（1）先求出函数的定义域为（-1，1），关于原点对称，故f（x）=

1-x2

x

，再由f（-x）=

1-x2

-x

=-f（x），可得f（x）是奇函数．
（2）问考查函数的奇偶性，用特殊值法判断函数及不是奇函数又不是偶函数；

解答：解：（1）∵函数f(x)=

1-x2

|x+3|-3

，
∴

1-x2 ≥ 0 | x+3| ≠ 3

，解得-1≤x≤1，
故函数f（x）的定义域为（-1，1），关于原点对称，
∴f(x)=

1-x2

|x+3|-3

=

1-x2

x+3-3

=

1-x2

x

．
又f（-x）=

1-x2

-x

=-f（x），故f（x）是奇函数．

（2）函数f（x）=x²-|x-a|+2的定义域为R，
①当a=0时，函数f（-x）=（-x）²-|x|+2=f（x）
此时，f（x）为偶函数；
②当a≠0时，f（a）=a²+2，f（-a）=a²-2|a|+2，-f（a）=-a²-2
得：f（a）≠f（-a），-f（a）≠f（-a）
此时f（x）既不是奇函数，也不是偶函数．

点评：本题主要考查判断函数的奇偶性的方法，注意应先考查函数的定义域是否关于原点对称，再看f（-x）与f（x）的关系，从而根据函数的奇偶性的定义，做出判断．当函数的定义域不关于原点对称时，此函数一定是非奇非偶函数，属于基础题．