Question

【题目】已知函数

（Ⅰ）当a=﹣2时，求函数f(x)的单调区间；

（Ⅱ）若g(x)= +在1，+∞)上是单调函数，求实数a的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）的单调递增区间是(1，+∞)， 的单调递减区间是(0， 1).

（Ⅱ）实数a的取值范围0，+∞)

【解析】试题分析：（Ⅰ）求导函数，利用导数的正负，可得函数的单调递增区间与单调递减区间；（Ⅱ）由题意得，分函数g（x）为[1，+∞）上的单调增函数与单调减函数讨论，即可确定实数a的取值范围

试题解析：(1)由已知，函数的定义域为(0，＋∞)．

当a＝－2时，f(x)＝x2－2lnx，所以f′(x)＝2x－＝，

则当x∈(0,1)时，f′(x)<0，所以(0,1)为f(x)的单调递减区间．

当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，(1，＋∞)为f(x)的单调递增区间．

(2)由题意得g′(x)＝2x＋－，函数g(x)在[1，＋∞)上是单调函数．

(ⅰ)若函数g(x)为[1，＋∞)上的单调增函数，

则g′(x)≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a≥－2x2在[1，＋∞)上恒成立，

设φ(x)＝－2x2，因为φ(x)在[1，＋∞]上单调递减，

所以φ(x)max＝φ(1)＝0，所以a≥0.

(ⅱ)若函数g(x)为[1，＋∞)上的单调减函数，则g′(x)≤0在[1，＋∞)上恒成立，不可能．

综上，实数a的取值范围是[0，＋∞)．