Question

已知二次函数y=g(x)的图象经过（0，0）、（m，0）、（m+1,m+1）三个不同的点.

（1）求y=g(x)的解析式；

（2）设F(x)=(x-n)·g(x)(m＞n＞0)，如果b＜a，且当x=a和x=b时，F(x)取得极值，求证：0＜b＜n＜a＜m.

Answer 1

（1）解：∵y=g(x)经过点（0，0）、（m,0),可设g(x)=tx(x-m),                                  ?

又y=g(x)经过点（m+1,m+1),∴m+1=t(m+1)(m+1-m).∴t=1.∴g(x)=x²-mx.             ?

（2）证明：由（1）得g(x)=x²-mx.?

∴f(x)=(x-n)·g(x)=(x-n)(x²-mx)=x³-(m+n)x²+mnx(m＞n＞0).?

∴f′(x)=3x²-2(m+n)x+mn.                                                                                        ?

∵f(x)在x=a和x=b(b＜a)处取到极值，?

∴x=a和x=b为方程f′(x)=0的两根.?

又∵f′(0)=mn＞0,f′(n)=n(n-m)＜0,f′(m)=m(m-n)＞0,且b＜a,0＜n＜m，f′(x)=3x²-2(m+n)x+mn是二次函数，二次项系数为3，且3＞0，?

∴n、m分别在区间（b,a）,（a,+∞）内，且0在（-∞，b）内.                         ?

∴0＜b＜n＜a＜m.