Question

已知数列{a_n}满足2a₁+2²a₂+2³a₃+…+2ⁿa_n=4ⁿ-1．
（1）求{a_n}的通项；
（2）设，求{b_n}的前项和．

Answer 1

解（1）∵2a₁+2²a₂+2³a₃+…+2ⁿa_n=4ⁿ-1n≥2，
2a₁+2²a₂+2³a₃+…+2^n-1a_n-1=4^n-1-1，
∴2ⁿa_n=4ⁿ-4^n-1=3•4^n-1
∴当n≥2时，，
又n=1时 2a₁=4¹-1得a₁=3/2，
∴（6分）
（2）∵（9分）
故{b_n}是以为首项，为公比的等比数列，
∴．（12分）
分析：（1）由2a₁+2²a₂+2³a₃+…+2ⁿa_n=4ⁿ-1n≥2，2a₁+2²a₂+2³a₃+…+2^n-1a_n-1=4^n-1-1，知2ⁿa_n=4ⁿ-4^n-1=3•4^n-1，当n≥2时，，由此能求出{a_n}的通项．
（2）由，由此能求出{b_n}的前项和．
点评：本题考查数列的通项公式的求法和前n项和的计算，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．