Question

（2012•普陀区一模）已知数列{a_n}是首项为2的等比数列，且满足an+1=pan+2n(n∈N*)
（1）求常数p的值和数列{a_n}的通项公式；
（2）若抽去数列中的第一项、第四项、第七项、…第3n-2项，…，余下的项按原来的顺序组成一个新的数列{b_n}，试写出数列
{b_n}的通项公式；
（3）在（2）的条件下，设数列{b_n}的前n项和为T_n，是否存在正整数n，使得

Tn+1

Tn

=

11

3

？若存在，试求所有满足条件的正整数n的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由a1=2，an-1=pan+2n，求得a2=2p+2，a3=2p2+2p+4，由存在常数p，使得数列a_n为等比数列，求出（2p+2）²=2（2p²+2p=4），由此能求出常数p的值和数列{a_n}的通项公式．
（2）由等比数列的性质得：（i）当n=2k（k∈N^*）时，bn=a3k=23k；（ii）当n=2k-1（k∈N^*）时，b_n=a_3k-1=2^3k-1，由此能求出数列{b_n}的通项公式；
（3）由{b_2n-1}是首项为b₁=4，公式q=8的等比数列，知{b_2n}是首项b₂=8，公比q=8的等比数列，由此能求出Tn=

5•8 n+1 2 -12 7 ，n=2k-1 12•8 n 2 -12 7 ，n=2k

．假设存在正整数n满足条件，则

Tn+1

Tn

=

Tn+bn+1

Tn

=1+

bn+1

Tn

=

11

3

，即

bn+1

Tn

=

8

3

．由此能够推导出当且仅当n=2时，

Tn+1

Tn

=

11

3

．

解答：解：（1）由a1=2，an-1=pan+2n，
得a2=2p+2，a3=2p2+2p+4，
∵存在常数p，使得数列a_n为等比数列，
∴a 22=a₁a₃，即（2p+2）²=2（2p²+2p=4），
∴p=1．
故数列{a_n}为首项是非，公比为2的等比数列，即an=2n，
此时，an+1=2n+2n=2n+1也满足，
则所求常数p的值为1，且an=2n（n∈N^*）．
（2）由等比数列的性质得：
（i）当n=2k（k∈N^*）时，bn=a3k=23k；
（ii）当n=2k-1（k∈N^*）时，b_n=a_3k-1=2^3k-1，
∴bn=

2 3n+1 2 ，n=2k-1 2 3n 2 ，n=2k

，(k∈N*)．
（3）∵{b_2n-1}是首项为b₁=4，公式q=8的等比数列，
{b_2n}是首项b₂=8，公比q=8的等比数列，则
（i）当n=2k（k∈N^*）时，
T_n=T_2k=（b₁+b₃+…+b_2k-1）+（b₂+b₄+…+b_2k）
=

4(8k-1)

8-1

+

8(8k-1)

8-1

=

12•8k-12

7

=

12•8 n 2 -12

7

．
（ii）当n=2k-1（k∈N^*）时，
T_n=T_2k-1=T_2k-b_2k=

12•8k-12

7

-8k
=

5•8k-12

7

=

5•8 n+1 2 -12

7

．
即Tn=

5•8 n+1 2 -12 7 ，n=2k-1 12•8 n 2 -12 7 ，n=2k

．
假设存在正整数n满足条件，则

Tn+1

Tn

=

Tn+bn+1

Tn

=1+

bn+1

Tn

=

11

3

，
∴

bn+1

Tn

=

8

3

．
则（i）当n=2k（k∈N^*）时，

bn+1

Tn

=

b2k+1

T2k

=

23k+2

12•8k-12 7

=

8

3

，
解得8^k=8，k=1．
即当n=2时，满足条件．
（ii）当n=2k-1（k∈N^*）时，

bn+1

Tn

=

b2k

Tn

=

8k

5•8k-12 7

=

7•8k

5•8k-12

=

8

3

，
解得8^k=

96

19

，
∵k∈N^*，∴此时无满足条件的正整数n．
综上所述，当且仅当n=2时，

Tn+1

Tn

=

11

3

．

点评：本题考查数列通项公式的求法，考查正整数是否存在的探究．考查数列、不等式知识，考查化归与转化、分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．